線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$

ステップ 2

サイズ $4$ の単位行列または恒等行列は $4 \times 4$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{4})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{4}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.9.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.10

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.10.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.10.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.12

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.12.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.12.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.13

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.13.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.13.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.14

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.14.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.14.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.15

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.15.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.15.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 & 2 + 0 & 11 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 + 0 & 11 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$11$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 + 0 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.5

$3$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.6

$8$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.7

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 + 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.8

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.9

$4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.10

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.11

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.12

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

ステップ 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

ステップ 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

ステップ 5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

ステップ 5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$

ステップ 5.4

$0$ に $| \begin{array}{c} 3 & 2 & 11 \\ - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5

$| \begin{array}{c} - 1 - λ & 3 & 8 \\ 0 & - 2 - λ & 4 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

ステップ 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |$

ステップ 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |$

ステップ 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 3 & 8 \\ - 2 - λ & 4 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 4 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) ((- 2 - λ) (2 - λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 - λ) (2 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 2 (2 - λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 2 \cdot 2 - 2 (- λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 2 \cdot 2 - 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 - 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 2 λ - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.2

$2 λ$ から $2 λ$ を引きます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + 0 + λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.2.3

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + λ^{2} + 0 \cdot 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.1.3

$0$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.2

$- 4 + λ^{2}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (- 4 + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.4.2.3

$- 4$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (λ^{2} - 4) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.1

$(- 1 - λ) (λ^{2} - 4) + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.1.1

$(- 1 - λ) (λ^{2} - 4)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (λ^{2} - 4) + 0) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.1.2

$(- 1 - λ) (λ^{2} - 4)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (1 - λ) ((- 1 - λ) (λ^{2} - 4)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 1 - λ) (λ^{2} - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.2.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 (λ^{2} - 4) - λ (λ^{2} - 4)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.2.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 λ^{2} - 1 \cdot - 4 - λ (λ^{2} - 4)) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.2.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 λ^{2} - 1 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.3.1

$- 1 λ^{2}$ を $- λ^{2}$ に書き換えます。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} - 1 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.3.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.3.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.3.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.3.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.5.3.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - λ^{2 + 1} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.3.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - λ^{3} - λ \cdot - 4) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.3.4

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} + 4 - λ^{3} + 4 λ) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.4

$4$ を移動させます。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{2} - λ^{3} + 4 λ + 4) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.5.5.5

$- λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4) + 0 + 0 + 0$

ステップ 5.6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4) + 0 + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

$(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4) + 0 + 0$

ステップ 5.6.1.2

$(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4) + 0$

ステップ 5.6.1.3

$(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$

ステップ 5.6.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(1 - λ) (- λ^{3} - λ^{2} + 4 λ + 4)$ を展開します。

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 (4 λ) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ) - λ \cdot 4$

ステップ 5.6.3

$1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 (4 λ) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ) - λ \cdot 4$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

$1 (4 λ)$ と $- λ \cdot 4$ について因数を並べ替えます。

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 λ + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ) - 1 \cdot 4 λ$

ステップ 5.6.3.2

$1 \cdot 4 λ$ から $4 λ$ を引きます。

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ) + 0$

ステップ 5.6.3.3

$1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.4.1

$- λ^{3}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (- λ^{2}) + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.2

$- λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 1 \cdot 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.3

$4$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - λ (- λ^{3}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.5

指数を足して $λ$ に $λ^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.4.5.1

$λ^{3}$ を移動させます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.5.2

$λ^{3}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.4.5.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.5.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + 1 λ^{4} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.7

$λ^{4}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - λ (- λ^{2}) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{2} - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.9

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.4.9.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 (λ^{2} λ) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.9.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.4.9.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 (λ^{2} λ^{1}) - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.9.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 λ^{2 + 1} - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.9.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 1 \cdot - 1 λ^{3} - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + 1 λ^{3} - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.11

$λ^{3}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - λ (4 λ)$

ステップ 5.6.4.12

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 1 \cdot 4 λ \cdot λ$

ステップ 5.6.4.13

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.4.13.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 1 \cdot 4 (λ \cdot λ)$

ステップ 5.6.4.13.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 1 \cdot 4 λ^{2}$

ステップ 5.6.4.14

$- 1$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 4 λ^{2}$

ステップ 5.6.5

$- λ^{3} - λ^{2} + 4 + λ^{4} + λ^{3} - 4 λ^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.5.1

$- λ^{3}$ と $λ^{3}$ をたし算します。

$p (λ) = - λ^{2} + 4 + λ^{4} + 0 - 4 λ^{2}$

ステップ 5.6.5.2

$- λ^{2} + 4 + λ^{4}$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = - λ^{2} + 4 + λ^{4} - 4 λ^{2}$

ステップ 5.6.6

$- λ^{2}$ から $4 λ^{2}$ を引きます。

$p (λ) = - 5 λ^{2} + 4 + λ^{4}$

ステップ 5.6.7

$4$ を移動させます。

$p (λ) = - 5 λ^{2} + λ^{4} + 4$

ステップ 5.6.8

$- 5 λ^{2}$ と $λ^{4}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{4} - 5 λ^{2} + 4$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{4} - 5 λ^{2} + 4 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u = λ^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

$u = λ^{2}$

ステップ 7.2

たすき掛けを利用して $u^{2} - 5 u + 4$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $- 5$ です。

$- 4, - 1$

ステップ 7.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 4) (u - 1) = 0$

ステップ 7.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 4 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 7.4

$u - 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

$u - 4$ が $0$ に等しいとします。

$u - 4 = 0$

ステップ 7.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$u = 4$

ステップ 7.5

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 7.5.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 7.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 7.6

最終解は $(u - 4) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 4, 1$

ステップ 7.7

$u = λ^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$λ^{2} = 4$

${(λ^{2})}^{1} = 1$

ステップ 7.8

$λ$ について第1方程式を解きます。

$λ^{2} = 4$

ステップ 7.9

$λ$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{4}$

ステップ 7.9.2

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 7.9.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$λ = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 7.9.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$λ = \pm 2$

ステップ 7.9.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.9.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$λ = 2$

ステップ 7.9.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$λ = - 2$

ステップ 7.9.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$λ = 2, - 2$

ステップ 7.10

$λ$ について二次方程式を解きます。

${(λ^{2})}^{1} = 1$

ステップ 7.11

$λ$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.11.1

括弧を削除します。

$λ^{2} = 1$

ステップ 7.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{1}$

ステップ 7.11.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$λ = \pm 1$

ステップ 7.11.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.11.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$λ = 1$

ステップ 7.11.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$λ = - 1$

ステップ 7.11.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$λ = 1, - 1$

ステップ 7.12

$λ^{4} - 5 λ^{2} + 4 = 0$ の解は $λ = 2, - 2, 1, - 1$ です。

$λ = 2, - 2, 1, - 1$

線形代数 例

線形代数例